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GDR Singularites et applications
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Introduction

L’objectif de ce GDR est de favoriser les contacts entre les différentes équipes qui travaillent sur les singularités des variétés algébriques ou des espaces analytiques réels ou complexes et des applications entre ces espaces. Ce projet englobe à la fois des aspects algébriques, topologiques et géométriques , ainsi que les aspects plus analytiques liés notamment aux systèmes différentiels issus d’objets géométriques.

La théorie des singularités a une longue histoire qu’on peut faire remonter au XIX\`eme siècle (Puiseux, Noether et Halphen) et au début du XXème siècle (Picard, Enriques, Zariski, Lefschetz). Depuis les années 1950, elle est reconnue comme une branche des mathématiques à part entière à la suite des travaux fondamentaux de Zariski, Whitney et Thom puis de Arnold, Hironaka, Milnor, Pham.

Dans les trente années suivantes, la Théorie des singularités s’est enrichie de techniques nouvelles et puissantes comme notamment
 les D-Modules,
 la cohomologie d’intersection,
 la théorie de Hodge et, plus récemment,
 l’intégration motivique. La France a joué dès le début un rôle important dans ce sujet, comme le montrent l’historique qui vient d’être rappelé et les nombreux travaux plus récents dont l’un des points de départ a été le Congrès dédié aux singularités à Cargèse en 1972.


Plus d’une vingtaine de thèses dans ces domaines ont eu lieu en France durant ces dernières cinq années. L’un des objectifs principaux du GDR sera de contribuer à l’intégration dans la communauté scientifique des jeunes mathématiciens, doctorants, post doctorants et chercheurs ou maîtres de conférences récemment recrutés, en leur transmettant les techniques les plus importantes et une vision globale du sujet et de ses applications, par des conférences annuelles, et l’animation d’un réseau au niveau national.

Les activités du GDR prendront en compte l’existence de contacts au niveau européen et international, qui se sont déjà concrétisées de façon institutionnelle dans les années récentes (Allemagne, Brésil, Espagne, Japon). Les directions de recherche principales dans ce GDR sont décrites plus en détail dans les rapports d’activité . S’agissant de sujets particulièrement ouverts sur des domaines voisins, leur contour n’est pas clos.

Le projet est centré sur les thèmes suivants : Résolution locale et uniformisation, singularités réelles et complexes des espaces et des applications, stratifications, applications des D-modules et de la théorie de Hodge aux singularités, b-fonctions et cycles évanescents, arcs analytiques et intégration motivique, classes spéciales de variétés (toriques, arrangements d’hyperplans etc ).